수학 기초: 벡터 — 캐릭터가 바라보는 방향 계산하기

게임 캐릭터는 어떻게 몬스터를 바라볼까?

게임 속 캐릭터를 떠올려 보세요. 몬스터가 나타나면 캐릭터는 몬스터 쪽으로 휙 고개를 돌립니다. 컴퓨터는 눈이 없는데, 어떻게 방향을 알았을까요?

비밀은 바로 벡터입니다. 벡터는 "어느 쪽으로, 얼마나"를 알려 주는 수학의 화살표예요. 오늘은 이 화살표를 기초부터 차근차근 알아봅시다.

벡터는 그냥 화살표야

친구에게 보물 위치를 알려 준다고 상상해 보세요. "동쪽으로 세 걸음!"이라고 말하겠죠. 이 말에는 두 가지 정보가 들어 있어요.

• 방향: 동쪽으로
• 크기: 세 걸음만큼

이렇게 방향과 크기를 함께 가진 것이 벡터입니다. 그림으로 그리면 화살표가 되지요. 화살표의 꼬리가 출발점, 뾰족한 머리가 도착점이에요. 출발점을 A, 도착점을 B라고 하면 "A에서 B로 가는 벡터"라고 부릅니다.

반대로 "3"이라는 숫자 하나만 있으면 어떨까요? 세 걸음인 건 알지만 어느 쪽인지 몰라요. 이런 크기만 있는 값은 벡터가 아니라 스칼라라고 불러요. 온도나 몸무게가 스칼라의 예입니다.

화살표를 숫자로 적는 방법

컴퓨터는 그림을 직접 보지 못해요. 그래서 화살표를 숫자로 바꿔서 알려 줘야 합니다.

방법은 간단해요. 모눈종이를 떠올려 보세요. 가로로 간 칸 수와 세로로 간 칸 수, 딱 두 개의 숫자만 있으면 됩니다.

예를 들어 오른쪽으로 2칸, 위로 3칸 가는 화살표는 (2, 3)이라고 적어요. 이 두 숫자를 벡터의 성분이라고 부릅니다.

캐릭터의 위치도 똑같이 적을 수 있어요. 지도의 시작점(원점)에서 캐릭터까지 가는 화살표를 그리면, 그게 바로 캐릭터의 위치를 알려 주는 벡터가 되니까요.

핵심! 바라보는 방향은 "빼기"로 구해요

이제 진짜 문제를 풀어 봅시다. 캐릭터가 (1, 1)에 있고, 몬스터가 (4, 3)에 있어요. 캐릭터가 몬스터를 바라보려면 어느 쪽을 봐야 할까요?

규칙은 딱 하나입니다. 목표 위치에서 내 위치를 빼면 됩니다.

방향 벡터 = 몬스터 위치 − 캐릭터 위치

가로끼리 빼고, 세로끼리 빼요.

• 가로: 4 − 1 = 3
• 세로: 3 − 1 = 2

그래서 방향 벡터는 (3, 2)예요. "오른쪽으로 3칸, 위로 2칸 쪽을 봐!"라는 뜻이죠. 아래 그림으로 확인해 보세요.

왜 빼기일까요? "몬스터까지 가려면 얼마나 더 가야 해?"라는 질문과 같기 때문이에요. 용돈 계산과 똑같아요. 1000원이 있는데 3000원짜리를 사고 싶으면, 3000 − 1000 = 2000원이 더 필요하죠. 위치도 마찬가지로 "목표 빼기 지금"입니다.

화살표의 길이도 잴 수 있어요

방향 벡터 (3, 2)는 방향과 함께 크기도 갖고 있어요. 화살표의 길이가 곧 몬스터까지의 거리입니다.

길이는 직각삼각형의 빗변을 구하는 것과 같아요. 가로 3, 세로 2인 삼각형의 빗변이니까, 3×3 + 2×2 = 13이 되고, 13의 제곱근인 약 3.6이 거리가 됩니다. 이 계산법은 나중에 피타고라스 정리라는 이름으로 배우게 될 거예요.

게임에서는 이 길이를 보고 판단해요. "거리가 5보다 가까우면 몬스터가 공격한다!" 같은 식으로요.

벡터끼리 더하면 어떻게 될까?

벡터는 더할 수도 있어요. 화살표 두 개를 이어 붙이면 됩니다.

첫 번째 화살표의 머리에 두 번째 화살표의 꼬리를 붙여 보세요. 그리고 맨 처음 출발점에서 마지막 도착점까지 새 화살표를 그으면, 그게 두 벡터를 더한 결과예요.

숫자로는 더 쉬워요. 성분끼리 그냥 더하면 됩니다. (2, 1) + (1, 3) = (3, 4). 끝!

게임에서 캐릭터를 움직일 때 이걸 써요. 지금 위치에 이동 벡터를 더하면 다음 위치가 나오거든요. 매 순간 조금씩 더해 주면 캐릭터가 부드럽게 걸어가는 것처럼 보입니다.

3D 게임에서는 숫자가 하나 더 늘어요

지금까지는 평평한 모눈종이 위에서 생각했어요. 그런데 요즘 게임은 3D잖아요? 걱정 마세요. 숫자를 하나만 더 붙이면 됩니다.

가로, 세로에 높이를 추가해서 (3, 2, 5)처럼 세 개의 숫자로 적어요. 빼기로 방향을 구하는 규칙, 성분끼리 더하는 규칙은 전부 똑같이 통합니다.

하늘을 나는 드래곤을 바라보는 것도, 위층에 있는 보물을 가리키는 것도 모두 세 숫자짜리 벡터 하나로 해결돼요.

오늘 배운 것 정리

• 벡터는 방향과 크기를 가진 화살표다.
• 화살표는 (가로, 세로) 같은 숫자 묶음으로 적을 수 있다.
• 바라보는 방향은 목표 위치 − 내 위치로 구한다.
• 벡터의 길이는 목표까지의 거리다.
• 벡터 더하기는 성분끼리 더하면 되고, 캐릭터 이동에 쓰인다.

다음에 게임 속 캐릭터가 몬스터를 향해 고개를 돌리면 떠올려 보세요. 그 순간 컴퓨터는 조용히 뺄셈 한 번을 하고 있다는 것을요. 수학의 화살표, 벡터는 이렇게 게임 속 곳곳에서 열심히 일하고 있답니다.