라디안 — 기어가 얼마나 돌았는지 재는 단위

각도를 잴 때 우리는 보통 "90도", "180도" 같은 말을 씁니다. 그런데 수학자와 과학자들은 다른 단위를 더 자주 씁니다. 바로 라디안입니다.

라디안은 어렵지 않습니다. "얼마나 돌았는가"를 실을 감은 길이로 재는 방법일 뿐입니다.

도(度)는 왜 360일까?

한 바퀴는 360도입니다. 그런데 왜 하필 360일까요?

사실 특별한 이유가 없습니다. 아주 옛날 사람들이 그냥 그렇게 정했습니다. 1년이 약 360일이라서라는 이야기도 있고, 360이 여러 수로 잘 나누어져서라는 이야기도 있습니다.

즉 360은 사람이 만든 약속입니다. 원 자체가 "나는 360조각이야"라고 말한 적은 없습니다.

원이 스스로 알려주는 길이

그럼 원 자신이 가지고 있는 길이는 무엇일까요? 바로 반지름입니다.

반지름은 원의 중심에서 테두리까지의 거리입니다. 원마다 크기는 다르지만, 반지름은 그 원의 "자기 자신의 자"입니다.

라디안은 이 자를 씁니다.

라디안의 정의

둥근 접시 가장자리에, 반지름과 똑같은 길이의 실을 딱 붙여서 감아 봅니다. 그리고 실의 시작점과 끝점을 중심과 이어 봅니다.

그때 벌어진 각도가 바로 1라디안입니다.

정리하면 이렇습니다.

1라디안 = 호(테두리의 굽은 길이)가 반지름과 같아지는 각도

도(度)처럼 사람이 아무렇게나 나눈 숫자가 아니라, 원의 몸에서 바로 나온 단위입니다.

한 바퀴는 몇 라디안?

원의 테두리 전체 길이를 둘레라고 합니다. 둘레는 이렇습니다.

둘레 = 2 × π × 반지름

π(파이)는 약 3.14입니다.

1라디안은 "반지름 하나만큼 감은 각"이었죠. 둘레에는 반지름이 2π개(약 6.28개) 들어갑니다.

그래서 한 바퀴 = 2π 라디안 ≈ 6.28 라디안입니다.

여기서 나머지가 줄줄이 따라옵니다.

• 한 바퀴(360도) = 2π 라디안
• 반 바퀴(180도) = π 라디안
• 직각(90도) = π/2 라디안
• 60도 = π/3 라디안
• 1라디안 ≈ 57.3도

1라디안이 약 57도라는 게 어색해 보이지만, 걱정하지 마세요. 실제로 계산할 때는 거의 항상 π를 붙인 모양(π/2, π/3, 2π…)으로 씁니다.

기어가 얼마나 돌았을까

자전거 체인이 걸린 톱니바퀴를 떠올려 봅시다. 톱니바퀴가 돌면 체인이 끌려갑니다.

여기서 진짜 궁금한 것은 "몇 도 돌았나"가 아니라 "체인이 몇 센티미터 끌려갔나"입니다.

라디안을 쓰면 이 답이 곱셈 한 번으로 나옵니다.

움직인 길이 = 반지름 × 각도(라디안)

예를 들어 반지름 10cm인 바퀴가 2라디안 돌면, 체인은 10 × 2 = 20cm 움직입니다. 끝입니다.

만약 도(度)를 썼다면 어땠을까요? 먼저 도를 라디안으로 바꾸는 π/180을 곱해야 합니다. 계산이 한 단계 늘어납니다.

그래서 기계, 물리, 컴퓨터 그래픽처럼 회전과 길이를 함께 다루는 곳에서는 라디안이 훨씬 편합니다. 라디안은 각도와 길이를 곧바로 이어 주는 다리입니다.

단위 없는 단위

재미있는 사실이 하나 있습니다.

라디안은 "호의 길이 ÷ 반지름"입니다. 길이를 길이로 나눈 것이죠. 그러면 cm는 cm끼리 사라져 버립니다.

그래서 라디안은 순수한 숫자에 가깝습니다. 국제단위계(SI)에서도 라디안은 특별한 취급을 받습니다. 필요할 때는 rad라고 적지만, 계산 중에는 그냥 숫자처럼 다뤄도 됩니다.

수학책에서 각도에 단위가 안 적혀 있으면, 그건 거의 항상 라디안이라는 뜻입니다.

기억할 것

• 라디안은 반지름을 자로 삼아 각도를 재는 단위다.
• 1라디안 = 호의 길이가 반지름과 같아지는 각 (약 57도).
• 한 바퀴 = 2π 라디안, 반 바퀴 = π 라디안.
• 움직인 길이는 반지름 × 라디안으로 바로 나온다.
• 도(度)는 사람의 약속이고, 라디안은 원이 스스로 알려 주는 단위다.

다음에 "π/2"라는 글자를 보면 겁먹지 마세요. 그냥 "직각"이라는 뜻입니다. 원이 자기 말로 그렇게 부를 뿐입니다.