삼각함수: 흔들리는 그네와 팔꿈치 각도의 비밀

여러분, 그네를 타 본 적 있나요? 그네가 앞뒤로 왔다갔다 하는 모습을 떠올려 보세요. 또 팔을 굽혔다 펴는 우리 팔꿈치도 생각해 보세요. 놀랍게도 이 두 가지 안에는 같은 수학이 숨어 있어요. 그 이름은 바로 삼각함수랍니다.

이름이 조금 어렵죠? 하지만 걱정 마세요. 오늘 아주 쉬운 이야기로 하나씩 풀어 볼 거예요.

삼각함수는 직각삼각형에서 태어났어요

삼각함수는 직각삼각형에서 시작해요. 직각삼각형은 한 각이 딱 90도, 그러니까 반듯한 'ㄱ' 모양 각을 가진 삼각형이에요.

이 삼각형에는 변이 세 개 있어요. 그중에서 두 변의 길이를 서로 나누면 재미있는 숫자가 나와요. 이 숫자가 바로 삼각함수예요.

쉽게 말하면, 삼각함수는 "각도를 넣으면 변의 길이 비율이 튀어나오는 마법 상자"예요. 각도만 알면, 변의 길이 관계를 바로 알 수 있어요.

위 그림을 보세요. 각이 같은 직각삼각형은 크기가 달라도 모양이 똑같아요. 큰 삼각형이든 작은 삼각형이든, 변의 길이 비율은 항상 같답니다. 그래서 각도 하나만 알면 비율을 딱 알 수 있어요.

세 친구: 사인, 코사인, 탄젠트

삼각함수에는 대표 친구가 세 명 있어요.

• 사인(sin) — 높이와 관계있는 친구
• 코사인(cos) — 옆으로 간 길이와 관계있는 친구
• 탄젠트(tan) — 얼마나 가파른지 알려주는 친구

미끄럼틀을 떠올려 보세요. 사인은 미끄럼틀의 높이를, 코사인은 바닥에서 뻗은 길이를, 탄젠트는 얼마나 가파른지를 알려줘요.

아래 그림으로 직접 볼까요? 제가 간단한 직각삼각형을 그려 봤어요.

이 삼각형에서 각도가 커지면 높이가 쑥 올라가요. 그때 사인 값도 함께 커진답니다. 이렇게 각도와 길이는 짝꿍처럼 움직여요.

그네가 알려주는 반복의 비밀

이제 처음에 말한 그네로 돌아가 볼까요? 그네는 앞으로 갔다가 다시 뒤로 오고, 또 앞으로 가요. 이렇게 같은 움직임을 계속 반복하죠.

삼각함수도 똑같아요. 사인과 코사인은 올라갔다 내려갔다를 끝없이 반복해요. 이런 반복하는 성질을 어려운 말로 '주기적'이라고 해요. 하지만 그냥 "그네처럼 왔다갔다 반복한다"고 기억하면 돼요.

위 파란 곡선을 보세요. 마치 바다의 물결 같지 않나요? 위로 올라갔다가 아래로 내려오고, 다시 위로 올라가요. 이게 바로 그네의 움직임을 그림으로 그린 거예요.

제가 그네와 물결을 나란히 그려 봤어요. 둘이 얼마나 닮았는지 보세요.

동그란 시계에서 찾는 삼각함수

삼각함수는 동그란 원에서도 볼 수 있어요. 시계 바늘을 떠올려 보세요. 바늘이 빙글빙글 돌면서 위치가 바뀌죠?

바늘 끝이 얼마나 위로 올라갔는지가 사인이고, 얼마나 옆으로 갔는지가 코사인이에요. 바늘이 한 바퀴 돌면, 사인과 코사인도 한 번 왔다갔다 해요.

이 알록달록한 원을 '단위원'이라고 불러요. 원 위의 각 점마다 각도가 정해져 있고, 그 각도에 맞는 사인과 코사인 값이 적혀 있어요. 조금 복잡해 보여도, "바늘이 돌면 값이 정해진다"는 것만 알면 충분해요.

사인과 코사인이 함께 춤춰요

사인과 코사인은 아주 친한 친구라서 늘 함께 다녀요. 하나가 올라갈 때 다른 하나는 살짝 다르게 움직이면서, 둘이 함께 예쁜 물결을 만들어요.

그림에서 여러 색의 곡선이 보이죠? 이들이 바로 사인, 코사인, 탄젠트예요. 서로 손을 잡고 춤추는 것처럼 오르내려요.

팔꿈치 각도는 어떻게 계산할까요?

이제 우리 몸으로 돌아와 봐요. 로봇 팔이나 우리 팔꿈치를 생각해 보세요. 팔을 굽히면 각도가 생겨요.

손끝이 얼마나 높이 올라가는지 알고 싶을 때, 삼각함수가 도와줘요. 팔의 길이와 굽힌 각도만 알면, 사인을 이용해 손끝의 높이를 딱 계산할 수 있어요.

제가 로봇 팔을 그려 봤어요.

보라색 각도가 커질수록 주황색 손끝이 더 높이 올라가요. 이 높이를 사인이 알려주는 거예요. 그래서 로봇을 만드는 사람들은 삼각함수를 꼭 사용한답니다.

삼각함수는 어디에 쓰일까요?

삼각함수는 우리 주변 아주 많은 곳에 숨어 있어요.

• 배와 비행기가 길을 찾을 때 (어느 방향으로 갈지 계산해요)
• 다리와 건물을 튼튼하게 지을 때
• 게임 속 캐릭터가 자연스럽게 움직일 때
• 음악과 소리의 물결을 만들 때
• 로봇 팔이 정확하게 움직일 때

이렇게 삼각함수는 세상을 움직이는 숨은 일꾼이에요.

오늘 배운 것 정리해요

어때요? 삼각함수가 조금 친해졌나요? 마지막으로 세 가지만 기억해요.

1. 삼각함수는 각도를 넣으면 변의 비율을 알려주는 마법 상자예요.
2. 사인과 코사인은 그네처럼 왔다갔다 반복해요.
3. 배, 다리, 게임, 로봇 팔까지 우리 세상 곳곳에서 활약해요.

다음에 그네를 타거나 팔을 굽힐 때, 그 안에 숨은 삼각함수를 살짝 떠올려 보세요. 수학이 훨씬 가깝게 느껴질 거예요!