리깅: IK 심화 — 야코비안으로 푸는 비선형 최적화

로봇 팔이든 캐릭터의 다리든, 관절을 여러 개 이은 사슬의 끝(손끝, 발끝)을 원하는 위치에 갖다 놓고 싶을 때가 있다. 문제는 우리가 직접 조절할 수 있는 값은 끝점의 좌표가 아니라 각 관절의 각도라는 데 있다. 각도를 넣으면 끝점이 어디로 가는지는 쉽게 계산되지만(순운동학), 그 반대 — 원하는 끝점을 만들려면 각도를 얼마로 줘야 하는가(역운동학, IK) — 는 대개 깔끔한 공식이 없다. 이 글은 그 역문제를 야코비안 행렬로 조금씩 풀어 나가는 방법을 수식 중심으로 따라간다.

먼저, 순운동학을 함수로 보기

관절 각도를 모아 놓은 벡터를 $\mathbf{\theta }$라 하자. 관절이 $n$개면 $\mathbf{\theta }=({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n)$이다. 이 각도들을 넣으면 끝점의 위치 $\mathbf{x}$가 정해진다. 평면이라면 $\mathbf{x}=(x,y)$처럼 2차원, 공간이라면 3차원이다. 이 대응을 하나의 벡터값 함수로 쓰면

가 된다. 여기서 $\mathbf{f}$는 각도 벡터를 받아 위치 벡터를 돌려주는 함수다. 예를 들어 길이가 ${\ell }_1,{\ell }_2$인 두 마디로 된 평면 팔이라면, 각 마디의 삼각함수를 이어 붙여

처럼 적힌다. 각도를 정하면 좌표가 딱 나온다. 반대로 $\mathbf{x}$를 정해 놓고 $\mathbf{\theta }$를 구하려면 이 비선형 식을 각도에 대해 풀어야 하는데, 마디가 셋만 넘어가도 손으로 정리하기가 사실상 불가능해진다.

비선형을 못 풀면, 국소적으로 선형화한다

한 번에 정답을 구할 수 없다면, 현재 각도에서 아주 조금씩 움직여 목표에 다가가는 전략을 쓴다. 여기서 핵심은 "각도를 조금 바꾸면 끝점이 어느 방향으로 얼마나 움직이는가"이다. 이 관계가 바로 야코비안이 말해 주는 것이다.

함수 $\mathbf{f}$의 각 출력 성분을 각 입력 각도로 편미분한 값을 모두 모은 행렬을 야코비안 $\mathbf{J}$라 한다. 출력이 $m$차원, 입력이 $n$차원이면 $\mathbf{J}$는 $m\times n$ 행렬이고

로 쓴다. $i$행 $j$열의 성분 $\partial f_i/\partial {\theta }_j$는 "다른 각도는 그대로 두고 $j$번 관절만 아주 살짝 돌렸을 때, 끝점의 $i$번째 좌표가 변하는 비율"이라는 뜻이다. 각 열은 한 관절이 담당하는 끝점의 순간 이동 방향을 담고 있다.

야코비안이 있으면 작은 각도 변화 $\Delta \mathbf{\theta }$가 끝점을 얼마나 옮기는지를 선형으로 근사할 수 있다. 이것이 다변수 함수의 1차 테일러 전개다.

여기서 $\Delta \mathbf{x}=\mathbf{f}(\mathbf{\theta }+\Delta \mathbf{\theta })-\mathbf{f}(\mathbf{\theta })$는 끝점의 변화량이다. 원래의 곡면 같은 비선형 관계가, 지금 서 있는 자리 근처에서는 행렬 곱이라는 선형 관계로 바뀐 것이 핵심이다. 곱하기만 하면 되니 이제 다룰 만하다.

방향을 뒤집기: 역을 취한다

우리가 알고 싶은 건 반대다. "끝점을 목표를 향해 $\Delta \mathbf{x}$만큼 움직이고 싶은데, 각도는 얼마나 바꿔야 하나?" 즉 위 식을 $\Delta \mathbf{\theta }$에 대해 풀어야 한다. $\mathbf{J}$가 정사각이고 역행렬이 있으면 단순히

이다. 그런데 관절 수 $n$과 목표 좌표 수 $m$이 다르면 $\mathbf{J}$는 정사각이 아니라 역행렬이 없다. 관절이 목표보다 많은 경우(여유 자유도, $n>m$)가 흔한데, 이때는 목표를 만족시키는 각도 조합이 무수히 많다. 이럴 때 쓰는 것이 무어–펜로즈 유사역행렬 ${\mathbf{J}}^{+}$이다. 관절이 목표보다 많으면

가 된다. 여기서 ${\mathbf{J}}^{\top }$는 전치행렬이다. 이 유사역행렬은 목표를 정확히 맞추는 여러 해 중에서 각도 변화 $\Vert \Delta \mathbf{\theta }\Vert$가 가장 작은 해, 즉 "가장 덜 움직이는" 자연스러운 해를 골라 준다는 좋은 성질이 있다.

한 걸음씩 목표로: 반복 갱신

선형 근사는 어디까지나 근처에서만 맞다. 그러니 한 번에 목표까지 가지 말고, 조금 가고 다시 야코비안을 계산하고, 또 조금 가는 식으로 반복한다. 목표 위치를 ${\mathbf{x}}_{\text{target}}$이라 하면, 매 단계의 오차는

이다. 이 오차를 조금씩 줄이도록 각도를 갱신한다.

여기서 $\alpha$는 한 걸음의 크기를 정하는 스텝 계수로, 보통 $0<\alpha \le 1$ 범위에서 고른다. $\alpha$가 너무 크면 근사가 깨져 목표를 지나쳐 출렁이고, 너무 작으면 수렴이 느리다. 이 갱신을 오차 크기 $\Vert \mathbf{e}\Vert$가 충분히 작아질 때까지 돌리면 끝점이 목표에 다가간다. 이것이 사실상 비선형 최소제곱 ${\min }_{\mathbf{\theta }}\Vert {\mathbf{x}}_{\text{target}}-\mathbf{f}(\mathbf{\theta }){\Vert }^2$를 야코비안으로 푸는 경사 기반 반복이다.

야코비안 행렬식과 특이점

자료에서 말하듯, 야코비안이 정사각이면 그 행렬식 $\det \mathbf{J}$를 야코비안 행렬식이라 부른다. 이 값은 기하학적으로 작은 부피(넓이)가 함수에 의해 얼마나 늘거나 줄어드는지를 나타내는 배율이다. 각도 공간의 작은 조각이 위치 공간으로 옮겨질 때 $|\det \mathbf{J}|$배로 스케일된다.

문제는 이 배율이 $0$이 되는 자세, 즉 $\det \mathbf{J}=0$인 곳이다. 이런 자리를 특이점이라 한다. 팔이 완전히 쭉 펴진 순간을 떠올려 보자. 그 방향으로는 관절을 아무리 돌려도 끝점이 더 나아가지 못한다. 즉 어떤 방향의 $\Delta \mathbf{x}$를 만들려면 무한히 큰 각도 변화가 필요해진다. 이때 $\mathbf{J}{\mathbf{J}}^{\top }$의 역행렬이 폭발해서 갱신량이 발산하고, 팔이 미친 듯이 떨린다.

이걸 막으려고 흔히 쓰는 것이 감쇠 최소제곱(레벤버그–마쿼트)이다. 유사역행렬에 작은 감쇠항 ${\lambda }^2$를 더해

로 바꾼다. $\mathbf{I}$는 단위행렬, $\lambda$는 감쇠 계수다. 이 ${\lambda }^2\mathbf{I}$ 덕분에 특이점 근처에서도 괄호 안이 절대 특이해지지 않아 역이 안전하게 존재한다. 정확도를 조금 양보하는 대신, 발산 없이 부드럽게 목표로 수렴하게 만드는 실용적인 절충이다.

정리

역운동학의 벽은 $\mathbf{x}=\mathbf{f}(\mathbf{\theta })$라는 비선형 관계를 각도에 대해 직접 뒤집을 수 없다는 데 있었다. 야코비안은 이 벽을 "지금 자리 근처의 선형 관계 $\Delta \mathbf{x}\approx \mathbf{J}\Delta \mathbf{\theta }$"로 낮춰 준다. 그 선형 관계를 유사역행렬로 뒤집어 한 걸음의 각도 변화를 구하고, 야코비안을 다시 계산해 또 한 걸음 — 이 반복이 비선형 최적화의 뼈대다. 그리고 팔이 펴져 $\det \mathbf{J}$가 $0$에 가까워지는 특이점에서는 감쇠항을 더해 발산을 눌러 준다. 편미분을 모은 행렬 하나가, 풀 수 없어 보이던 문제를 곱셈과 반복으로 바꿔 놓는 셈이다.